考研考试

【分析解答题】设A是n阶矩阵，证明：
(Ⅰ) r
A、=1的充分必要条件是存在行阶非零列向量α，β，使得A=αβ^T；
(Ⅱ) r
A、=1且tr
A、≠0，证明A可相似对角化．
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试题答案： 答案解析：(Ⅰ) 若r(A)=1，则A为非零矩阵且A的任意两行成比例，即 ，显然α，β都不是零向量且A=αβ T ； 反之，若A=αβ T ，其中α，β都是n维非零列向量，则r(A)=r(αβ T )≤r(α)-1，又因为α，β为非零列向量，所以A为非零矩阵，从而r(A)≥1，于是r(A)=1． (Ⅱ)因为r(A)=1，所以存在非零列向量α，β，使得A=αβ T ，显然tr(A)=(α，β)，因为tr(A)≠0，所以(α，β)=k≠0． 令AX=λX，因为A 2 =kA，所以λ 2 X=kλX，或(λ 2 -kλ)X=0，注意到X≠0，所以矩阵A的特征值为λ=0或λ=k． 因为λ 1 +λ 2 +…+λ n =tr(A)=k，所以λ 1 =k，λ 2 =λ 3 =…=λ n =0，由r(0E-A)=r(A)=1，得A一定可以对角化． document.getElementById("warp").style.display="none"; document.getElementById("content").style.display="block"; 查看试题解析出处>>