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【分析解答题】设f(x)在区间[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=f(1)=0，
，试证：
对任意实数λ，必存在ξ∈(0，η)，使得f’(ξ)-λ[f(ξ)-ξ]=1．
网考网解析：
试题答案：引入辅助函数，由原函数法将所需证明的等式中的ξ改写为x， 有f’(x)-λ[f(x)-x]=1，且f’(x)-λf(x)=1-λx． 由一阶线性非齐次微分方程的通解公式得： f(x)=e ∫λx {C+∫e -∫λdx ·(1-λx)dx}=e λx {C+∫e -λx (1-λx)dx} =e λx {C+∫e -λx dx-∫xe -λx dx}=e λx {C+xe -λx }==Ce λx +x， 所以[f(x)-x]e -λx =C，至此可令辅助函数为g(x)=[f(x)-x]e -λx =-φ(x)e -λx ， 由已知条件及(Ⅰ)中结论，知g(x)也是连续函数， 且g(0)=[f(0)-0]e 0 =0，g(η)=-φ(η)e -λη =0． 由罗尔定理知存在一点ξ∈(0，η)，使得g’(ξ)=0， 又g’(x)=-λe -λx [f(x)-x]+e -λx [f’(x)-1]， 所以-λ[f(ξ)-ξ]+f’(ξ)-1=0 此即f’(ξ)-λ[f(ξ)-ξ]=1．证毕． 答案解析：[考点] 介值定理、罗尔定理 document.getElementById("warp").style.display="none"; document.getElementById("content").style.display="block"; 查看试题解析出处>>