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【分析解答题】设

(Ⅰ)求
与

(Ⅱ)求
，其中C是圆周x²+y²=3²，取逆时针方向.

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试题答案：(Ⅰ) (Ⅱ)因为 可考虑用格林公式计算J. 因为P，Q在点(-1，0)处没定义，所以不能在C围成的区域D上直接用格林公式. 但可在D中挖掉以(-1，0)为圆心，ε＞0充分小为半径的圆所余下的区域中用格林公式见下图，求解如下： 以(-1，0)为圆心ε＞0充分小为半径作圆周 (取顺时针方向)，C ε 与C围成的区域记为D ε ，在D ε 上用格林公式得 其中 取逆时针方向， 用“控洞法”求得(*)式后，可用C ε 的方程 (x+1) 2 +y 2 =ε 2 简化被积表达式，然后用格林公式得 其中 是 所围的区域. 答案解析：①我们用 的参数方程 x+1=εcost，y=εsint，t∈[0，2π] 来计算 ②本题有如下变式： (Ⅲ)分别讨论在y＞0与x＜0且(x，y)≠(-1，0)时积分 是否与路径无关. y＞0是单连通区域，且有 因此y＞0中积分与路径无关. 区域D：x＜0，(x，y)≠(-1，0)不是单连通区域，此时还须求出某积分 是环绕(-1，0)的某闭曲线. 随(Ⅱ)中已求出 取 使得 包含在D中 一条闭曲线 使得 在区域D：x＜0(x，y)≠(-1，0)内不是与路径无关的. (Ⅳ)分别讨论y＞0与x＜0且(x，y)≠( 查看试题解析出处>>