考研考试

【分析解答题】设函数y=y(x)在(-∞，+∞)有二阶导数且y＇≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数．
(Ⅰ) 试将x=x(y)所满足的微分方程
变换为y=y(x)所满足的微分方程；
(Ⅱ) 求变换后的微分方程满足初始条件
，y＇(0)=2的解；
(Ⅲ) 请验证，对所求的y=y(x)在(-∞，+∞)存在反函数．

网考网解析：
试题答案：[分析与求解] (Ⅰ) 这实质上是求反函数的一、二阶导数的问题，由反函数求导公式知 代入原微分方程得 即二阶线性常系数非齐次方程 (Ⅱ) 该方程的特征方程是λ 2 -1=0，特征根λ 1，2 =±1，由于非齐次项cosβx，β=1，βi=i≠λ 1，2 ，则设①的特解是 y=Acosx+Bsinx 代入①得 -2Acosx-2Bsinx=cosx 求得 即①有特解 于是①的通解是 又由初始条件得c 1 =1，c 2 =-1，因此所求的解为 (Ⅲ) 对y(x)=e x -e -x - (x∈(-∞，+∞))求导得 y(x)在(-∞，+∞)单调上升 y(x)在(-∞，+∞)存在反函数． 答案解析：暂无解析 document.getElementById("warp").style.display="none"; document.getElementById("content").style.display="block"; 查看试题解析出处>>