【分析解答题】

涂某是一位旅游爱好者。2004年夏天，涂某决定独身赴西藏旅行，并表示要到一些人迹罕至的地方去探险。其妻林某苦苦劝阻，无果。涂某留下一份遗嘱给自己的父母，然后就去了西藏。刚开始，涂某还时常寄信、寄明信片回家，但自2005年3月1日起，涂某就音讯全无。涂某一家到处打听仍无结果。2010年4月2日，涂某的妹妹从父母处得知，涂某在遗嘱里给自己留了一些财产，便找到林某要求分割财产。林某不同意，坚信涂某一定会回来。为分得财产，涂某的妹妹不顾林某的反对，向法院申请涂某死亡。同时，涂某的单位也准备向法院申请涂某死亡，以便将其除名。

问：(1)涂某的单位有权申请宣告涂某死亡吗 为什么
(2)法院是否应当支持涂某的妹妹的申请 为什么