刘某于2003年8月18日到甲公司工作，双方未签订书面劳动合同，公司没有为刘某参加社会保险。2004年11月25日，公司在各车间门口张贴关于未签订劳动合同的职工，某与甲公司的劳动关系于2004年12月31日终止，务必在2005年1月1日至5日到公司办理离岗手续并结算工资的通知。同年12月13日，刘某患病数次就诊。2005年1月4日刘某与甲公司结算工资发生分歧，之后未上班，并向劳动监察部门举报，后未解决。
2005年7月，刘某向劳动仲裁部门申请仲裁，同时主张回甲公司上班。公司在庭审明确不同意刘某回单位上班，认为双方劳动关系已终止。
问题：(1)如果你是刘某，应要求甲公司补偿哪些利益?
(2)刘某和甲公司之间的劳动关系是否已终止?